วันอังคารที่ 3 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2558

กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

กฎข้อที่ 1

ถ้างานแรกมีวิธีทำได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกมีวิธีที่จะทำงาน อย่าง 2 ได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่ทำงานอย่างแรกและอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่ 3 ได้ n3 วิธี จำนวนทั้งหมดที่จะเลือกวิธีทำงาน k อย่าง เท่ากับ n1n2n3.....nk วิธี

ตัวอย่างที่ 1

การแต่งกายของดำรงหน่งชุดประกอบด้วย เสื้อ กางเกง และรองเท้าถ้าดำรง มีเสื้อ

5 ตัว กางเกง 3 ตัว และรองเท้า 2 คู่ ดำรงจะเลือกแต่งกายได้ต่างๆกิ่ชุด

วิธีทำ การแต่งกายของดำรงประกอบด้วย 3 ขั้นตอน คือ

ขั้นตอนที่ 1 เลือกสวมกางเกงซึ่งเลือกได้ 3 วิธี และในแต่ละวิธีทำในขั้นตอนที่ 1

ยังสามารถเลือกทำงาน ในขั้นตอนที่ 2 คือ สวมเสื้อได้อีก 5 วิธีและในแต่ละวิธีที่เลือกทำงาน

ในขั้นตอนที่1 และ 2 ยังสามารถเลือกทำงาน ในขั้นตอนที่ 3 คือ สวมรองเท้าได้อีก 2 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำกิจกรรมนี้เสร็จสิ้น

= 3 * 5 * 2 = 30 วิธี

นั่นคือ ดำรงสามารถเลือกแต่งกายได้ 30 ชุด อ่านเพิ่มเติม

การประยุกต์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ

อ่านเพิ่มเติม

รากที่ n ของจํานวนจริง

บทนิยาม ให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1

b เป็นรากที่ n ของ a ก็ต่อเมื่อ bกำลัง n = a

n เป็นจำนวนคู่

n เป็นจำนวนคี่

1. รากที่ n ของ a จะหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ a ≥เท่านั้น

2. ถ้า a = o แล้ว รากที่ n ของ a = 03. ถ้า a > 0 แล้วรากที่ n ของ a จะมี 2 จำนวน จำนวนหนึ่งเป็นบวกและอีกจำนวนหนึ่งเป็นลบ

4. ถ้า a < 0แล้ว ไม่สามารถหารากที่ n ของ ได้ในระบบจำนวนจริง

1. รากที่ n ของ a จะหาค่าได้เสมอ สำหรับจำนวนจริง a ทุกจำนวน

2. ถ้า a = o แล้ว รากที่ n ของ a = 03. ถ้า a > 0 แล้ว รากที่ n ของ a จะมีเพียงจำนวนเดียว และเป็นจำนวนจริงบวก

4. ถ้า a < 0 แล้ว รากที่ n ของ a จะมีเพียงจำนวนเดียว และเป็นจำนวนจริงลบ

ตัวอย่างที่ 1 1) รากที่ 4 ของ 625 คือ 5 และ – 5

ทั้งนี้เพราะ 5 กำลัง 4 = 625 และ (-5) กำลัง4 = 625 อ่านเพิ่มเติม

เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเป็นจํานวนตรรกยะ

บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1

และ รากที่ n ของ a เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า a ยกกำลัง1 ส่วน n = รากที่ aของ n

บทนิยาม ให้ m ,n เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า a เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0

และ หาค่า = a ยกกำลังลบ m ส่วน n = 1ส่วนaยกกำลัง m ส่วน n

บทนิยาม ให้ a เป็นจำนวนจริง

m และ n เป็นจำนวนเต็มที่ n > o และ m ส่วน n เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ จะได้ว่า

a ยกกำลัง m ส่วน n = a ยกกำลัง 1 ส่วน n ยกกำลัง m = รากที่ n ของ a ยกกำลัง m อ่านเพิ่มเติม

วันอังคารที่ 27 มกราคม พ.ศ. 2558

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น (Probability)

ความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็น คือ ค่าที่ใช้ประเมินสถานการณ์ที่ยังไม่เกิดขึ้น โดยพิจารณาว่า เมื่อถึงเวลาเกิดเหตุการณ์แล้ว จะเกิดในลักษณะใด มีโอกาสที่จะเกิดมากน้อยเพียงใด การหาค่าความน่าจะเป็น จะต้องหาจากการทดลองสุ่มเท่านั้น

แซมเปิลสเปซ (Sample Space )
แซมเปิลสเปซ คือเซตของเหตุการณ์ทั้งหมดจากการทดลอง (Universal Set) เช่น การโยนลูกเต๋าถ้าต้องการดูว่าหน้าอะไรจะขึ้นมาจะได้ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }อ่านเพิ่มเติม

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

*อัตราส่วนตรีโกณมิติ

คำว่า “ตรีโกณมิติ” ตรงกับคำ ภาษาอังกฤษ “Trigonometry” หมายถึง การวัด รูปสามเหลี่ยมได้มีการนำความรู้วิชาตรีโกณมิติไปใช้ในการหาระยะทาง พื้นที่ มุม และทิศทางที่ยากแก่การวัดโดยตรง เช่น การหาความสูงของภูเขา การหาความกว้างของแม่น้ำ เป็นต้น จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก

เมื่อพิจารณามุม A

BC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม A ยาว a หน่วย

CA เรียกว่า ด้านประชิดมุม A ยาว b หน่วย

AB เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย

เมื่อพิจารณามุม B

AC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม B ยาว b หน่วย

CB เรียกว่า ด้านประชิดมุม B ยาว a หน่วย

BA เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย

สรุปได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก

sine, cosine, tangent

Sine ( sin )

เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB

ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ

ไซน์ของมุมAหรือsin Aคือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมA /ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ a/c

Cosine ( cos)

เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB

ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ

โคไซน์ของมุมAหรือcos Aคือ ความยาวด้านประชิดมุม A / ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ b/c

Tangent ( tan )

เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB

ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ

แทนเจนต์ของมุม A หรือ tan A คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุม A / ความยาวด้านประชิดมุม A หรือ a/b

ค่ามุมอื่นๆ นอกจาก sin,cos,tan

Co sec A = ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก / ความยาวของด้านตรงข้ามมุมA หรือ เป็นส่วนกลับของ Sin A

Sec A = ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก / ความยาวด้านประชิดมุม A หรือ เป็นส่วนกลับของ Cos A

Cot A = ความยาวด้านประชิดมุม A / ความยาวด้านตรงข้ามมุม A หรือ เป็นส่วนกลับของ Tan A

เทคนิคการจำ

Sin A = ข้าม / ฉาก

Cos A = ชิด / ฉาก

Tan A = ข้าม / ชิด

ข้าม คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้น ๆ

ชิด คือ ความยาวด้านประชิดมุมนั้น ๆ

ฉาก คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

จากhttp://trigonometry-2.blogspot.com/2013/07/blog-post_122.html

เลขยกกำลัง

คือ การคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(aⁿ) จะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa)

    ตัวอย่าง
                  2⁵ เป็นเลขยกกำลัง ที่มี 2 เป็นฐานหรือตัวเลข และมี 5 เป็นเลขชี้กำลัง

และ 2⁵ = 2x2x2x2x2 = 32

สมบัติของเลขยกกำลัง

1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก

เช่น 2³x 2⁷x 2⁹= 2 ^{(3 + 7 + 9)} = 2¹⁹

2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m > n

เช่น 4¹²÷ 4³=4^12-3= 4⁹

กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, nเป็นจำนวนเต็มบวกที่ m = n

นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ a⁰ = 1

เช่น 6⁷÷ 6⁷= 6^7-7= 6⁰= 1 หรือถ้า (-7)^o= 1

กรณีที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m < n

เช่น

= 1/ 5^4-9

นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว

หรือ

เช่น

หรือ

3.สมบัติอื่นๆของเลขยกกำลัง

1. เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง

เมื่อ a ≥0 และ m, n เป็นจำนวนเต็ม

เช่น

2. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณ หรือการหารของจำนวนหลาย ๆจำนวน

และ

เมื่อ a ≠ 0 , b ≠ 0 และ n เป็นจำนวนเต็ม

เช่น

3. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน

เมื่อ a > 0 และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1

เมื่อ a ≠ 0 และ m เป็นจำนวนเต็มบวก ; n ≥ 2

การใช้เลขยกกำลังแทนจำนวน

การเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆนิยมเขียนแทนได้ด้วยรูป Ax10ⁿเมื่อ 1≤A<10 และ n เป็นจำนวนเต็มบวก เช่น 16,000,000 = 1.6×10⁷ และทำนองเดียวกันการเขียนจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยๆก็สามารถเขียนในรูป Ax10ⁿ ได้เช่นเดียวกัน แต่ n จะเป็นจำนวนเต็มลบ เช่น 0.000016 = 1.6×10^-5

หลักการเปลี่ยนจำนวนให้อยู่ในรูป Ax10ⁿ เมื่อ 1≤A<10 และ n เป็นจำนวนเต็มอย่างง่ายๆ คือให้พิจารณาว่าจุดทศนิยมมีการเลื่อนตำแหน่งไปทางซ้ายหรือขวากี่ตำแหน่ง ถ้าเลื่อนไปทางซ้ายเลขชี้กำลังจะเป็นบวก และถ้าเลื่อนไปทางขวาเลขชี้กำลังก็จะเป็นลบ

เช่น 75000.0=7.5×10⁴

0.000075 = 7.5×10^-5

หรือกล่าวได้ว่า ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางขวา n ตำแหน่ง เลขชี้กำลังของ 10 จะลดลง n ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางซ้าย n ตำแหน่ง เลขชี้กำลังของ10 จะเพิ่มขึ้น n

สรุป

เลขยกกำลังเป็นการคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(aⁿ) หรือจะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa) อีกทั้งวิธีการคำนวณหาค่าเลขยกกำลังจะขึ้นอยู่กับสมบัติของเลขยกกำลังในแต่ละประเภทด้วย