โค้ดตัวอักษรวิ่ง ยินดีต้อนรับสู่บล็อกวิชาคณิตศาสตร์ ของ"นางสาววรรณภา บุญรอด"

วันอังคารที่ 3 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2558

กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

กฎข้อที่ 1
        ถ้างานแรกมีวิธีทำได้ nวิธี ในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกมีวิธีที่จะทำงาน อย่าง 2 ได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่ทำงานอย่างแรกและอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่ 3 ได้ nวิธี จำนวนทั้งหมดที่จะเลือกวิธีทำงาน k อย่าง เท่ากับ  n1n2n3.....n วิธี

ตัวอย่างที่ 1
      การแต่งกายของดำรงหน่งชุดประกอบด้วย เสื้อ กางเกง และรองเท้าถ้าดำรง มีเสื้อ
5 ตัว กางเกง 3 ตัว และรองเท้า 2 คู่ ดำรงจะเลือกแต่งกายได้ต่างๆกิ่ชุด
วิธีทำ  การแต่งกายของดำรงประกอบด้วย 3 ขั้นตอน คือ
ขั้นตอนที่ เลือกสวมกางเกงซึ่งเลือกได้ 3 วิธี และในแต่ละวิธีทำในขั้นตอนที่ 1
ยังสามารถเลือกทำงาน ในขั้นตอนที่ 2 คือ สวมเสื้อได้อีก 5 วิธีและในแต่ละวิธีที่เลือกทำงาน
ในขั้นตอนที่1 และ 2 ยังสามารถเลือกทำงาน  ในขั้นตอนที่ 3 คือ สวมรองเท้าได้อีก 2 วิธี
ดังนั้น  จำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำกิจกรรมนี้เสร็จสิ้น
= 3 * 5 * 2 =  30  วิธี
          นั่นคือ ดำรงสามารถเลือกแต่งกายได้ 30 ชุด อ่านเพิ่มเติม

การประยุกต์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ

รากที่ n ของจํานวนจริง

บทนิยาม  ให้  a, b เป็นจำนวนจริง  และ   n  เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า  1
    b เป็นรากที่  n   ของ  a  ก็ต่อเมื่อ  bกำลัง n = a 

n เป็นจำนวนคู่
เป็นจำนวนคี่
1.  รากที่   n   ของ a จะหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ a ≥เท่านั้น
2.  ถ้า a = o แล้ว รากที่ ของ a = 03.  ถ้า a  > 0  แล้วรากที่ n ของ a  จะมี  2  จำนวน  จำนวนหนึ่งเป็นบวกและอีกจำนวนหนึ่งเป็นลบ
4.  ถ้า  a  <  0แล้ว  ไม่สามารถหารากที่ n ของ  ได้ในระบบจำนวนจริง
1.  รากที่ n ของ a จะหาค่าได้เสมอ สำหรับจำนวนจริง ทุกจำนวน
2.  ถ้า a = o แล้ว รากที่ ของ a = 03.  ถ้า  a >  0 แล้ว  รากที่ n  ของ จะมีเพียงจำนวนเดียว และเป็นจำนวนจริงบวก
4.  ถ้า a  <  0  แล้ว  รากที่ ของ a จะมีเพียงจำนวนเดียว  และเป็นจำนวนจริงลบ

ตัวอย่างที่  1      1) รากที่ 4 ของ 625 คือ   5 และ – 5

                        ทั้งนี้เพราะ    5 กำลัง 4 = 625 และ (-5) กำลัง4 =   625 อ่านเพิ่มเติม

เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเป็นจํานวนตรรกยะ

บทนิยาม   กำหนดให้  a เป็นจำนวนจริง  n  เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า  1
และ  รากที่ n ของ a  เป็นจำนวนจริง  จะได้ว่า ยกกำลัง1 ส่วน n = รากที่ aของ n
บทนิยาม   ให้ m ,n  เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0
และ  หาค่า = a ยกกำลังลบ ส่วน n = 1ส่วนaยกกำลัง ส่วน n
บทนิยาม   ให้  a เป็นจำนวนจริง
และ  n  เป็นจำนวนเต็มที่  n >  o  และ  ส่วน n  เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ  จะได้ว่า
a ยกกำลัง m ส่วน n =   a ยกกำลัง 1 ส่วน ยกกำลัง m = รากที่ ของ a ยกกำลัง m อ่านเพิ่มเติม

วันอังคารที่ 27 มกราคม พ.ศ. 2558

ความน่าจะเป็น




ความน่าจะเป็น (Probability)

ความน่าจะเป็น 
            ความน่าจะเป็น คือ ค่าที่ใช้ประเมินสถานการณ์ที่ยังไม่เกิดขึ้น โดยพิจารณาว่า เมื่อถึงเวลาเกิดเหตุการณ์แล้ว จะเกิดในลักษณะใด มีโอกาสที่จะเกิดมากน้อยเพียงใด การหาค่าความน่าจะเป็น จะต้องหาจากการทดลองสุ่มเท่านั้น

แซมเปิลสเปซ (Sample Space )
            แซมเปิลสเปซ คือเซตของเหตุการณ์ทั้งหมดจากการทดลอง (Universal Set) เช่น การโยนลูกเต๋าถ้าต้องการดูว่าหน้าอะไรจะขึ้นมาจะได้ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }อ่านเพิ่มเติม


อัตราส่วนตรีโกณมิติ


อัตราส่วนตรีโกณมิติ

*อัตราส่วนตรีโกณมิติ

คำว่า “ตรีโกณมิติ” ตรงกับคำ ภาษาอังกฤษ “Trigonometry” หมายถึง การวัด รูปสามเหลี่ยมได้มีการนำความรู้วิชาตรีโกณมิติไปใช้ในการหาระยะทาง พื้นที่ มุม และทิศทางที่ยากแก่การวัดโดยตรง เช่น การหาความสูงของภูเขา การหาความกว้างของแม่น้ำ เป็นต้น จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก


เมื่อพิจารณามุม A
BC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม A ยาว a หน่วย
CA เรียกว่า ด้านประชิดมุม  A ยาว b หน่วย
AB เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย

เมื่อพิจารณามุม B
AC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม B ยาว b หน่วย
CB เรียกว่า ด้านประชิดมุม B ยาว a หน่วย
BA เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย

สรุปได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก

sine, cosine, tangent

Sine ( sin )
เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB

ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ
ไซน์ของมุมAหรือsin Aคือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุม/ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ a/c  

Cosine ( cos)
เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB

ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ
โคไซน์ของมุมAหรือcos Aคือ ความยาวด้านประชิดมุม A / ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ b/c

Tangent ( tan )
เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB
ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ
แทนเจนต์ของมุม A หรือ tan A คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุม A / ความยาวด้านประชิดมุม A หรือ a/b

ค่ามุมอื่นๆ นอกจาก sin,cos,tan
Co sec A = ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก / ความยาวของด้านตรงข้ามมุมหรือ เป็นส่วนกลับของ Sin A
Sec A = ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก / ความยาวด้านประชิดมุม A หรือ เป็นส่วนกลับของ Cos A
Cot A = ความยาวด้านประชิดมุม A / ความยาวด้านตรงข้ามมุม A  หรือ เป็นส่วนกลับของ Tan A

เทคนิคการจำ
Sin A = ข้าม / ฉาก
Cos A =  ชิด / ฉาก
Tan A = ข้าม / ชิด
ข้าม  คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้น ๆ
ชิด    คือ ความยาวด้านประชิดมุมนั้น ๆ
ฉาก  คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
จากhttp://trigonometry-2.blogspot.com/2013/07/blog-post_122.html            


เลขยกกำลัง


 เลขยกกำลัง

           คือ การคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(an) จะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa)
  
    ตัวอย่าง
                  25 เป็นเลขยกกำลัง ที่มี 2 เป็นฐานหรือตัวเลข และมี 5 เป็นเลขชี้กำลัง
    
    และ         25   = 2x2x2x2x2  = 32

สมบัติของเลขยกกำลัง    

1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก          
                      
เช่น     23x 27x 2= 2 (3 + 7 + 9) = 219
2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m > n 
                                                                    
เช่น     412÷ 43=412-3  = 49
กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, nเป็นจำนวนเต็มบวกที่ m = n
                                                                     
นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ a0 = 1
 เช่น      67÷ 6= 67-7 = 60  = 1  หรือถ้า (-7)= 1
 กรณีที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m < n    
                                                                 
เช่น      =  1/ 54-9
นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว
             หรือ    
  เช่น               หรือ      
3.สมบัติอื่นๆของเลขยกกำลัง  
1. เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง                  
 เมื่อ a ≥0 และ m, n เป็นจำนวนเต็ม
เช่น              
                    
                     
2. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณ หรือการหารของจำนวนหลาย ๆจำนวน
      และ         เมื่อ a ≠ 0 , b ≠ 0 และ n เป็นจำนวนเต็ม
เช่น                        
3. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน
       เมื่อ a > 0 และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1
เมื่อ a ≠ 0 และ m เป็นจำนวนเต็มบวก ; n ≥ 2

การใช้เลขยกกำลังแทนจำนวน

                การเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆนิยมเขียนแทนได้ด้วยรูป Ax10nเมื่อ 1≤A<10 และ n เป็นจำนวนเต็มบวก เช่น 16,000,000 = 1.6×107 และทำนองเดียวกันการเขียนจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยๆก็สามารถเขียนในรูป Ax10n ได้เช่นเดียวกัน  แต่ n จะเป็นจำนวนเต็มลบ เช่น 0.000016 = 1.6×10-5
               หลักการเปลี่ยนจำนวนให้อยู่ในรูป Ax10n เมื่อ 1≤A<10 และ n เป็นจำนวนเต็มอย่างง่ายๆ คือให้พิจารณาว่าจุดทศนิยมมีการเลื่อนตำแหน่งไปทางซ้ายหรือขวากี่ตำแหน่ง ถ้าเลื่อนไปทางซ้ายเลขชี้กำลังจะเป็นบวก และถ้าเลื่อนไปทางขวาเลขชี้กำลังก็จะเป็นลบ
เช่น                   75000.0=7.5×104     
                         0.000075 = 7.5×10-5
หรือกล่าวได้ว่า ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางขวา n ตำแหน่ง เลขชี้กำลังของ 10 จะลดลง n ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางซ้าย n ตำแหน่ง เลขชี้กำลังของ10 จะเพิ่มขึ้น n

 

สรุป

          เลขยกกำลังเป็นการคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(an) หรือจะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa) อีกทั้งวิธีการคำนวณหาค่าเลขยกกำลังจะขึ้นอยู่กับสมบัติของเลขยกกำลังในแต่ละประเภทด้วย

การบวกเลขยกกำลัง

1.การบวกลบเลขยกกำลังที่มีฐานเหมือนกันและเลขยกกำลังเท่ากัน ให้นำสัมประสิทธิ์ของเลขยกกำลังมาบวกลบกัน
ตัวอย่าง                          
                       
2.การบวกลบเลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากัน  แต่เลขยกกำลังไม่เท่ากันจะนำสัมประสิทธิ์มาบวกลบกันไม่ได้  ต้องทำในรูปของการแยกตัวประกอบ และดึงตัวประกอบร่วมออก
ตัวอย่าง         
                    
หมายเหตุ 
       (-2)4 และ -24 มีค่าไม่เท่ากันเพราะ  (-2)4 ฐานคือ  (-2)       
เลขชี้กำลังคือ 4 อ่านว่าลบสองทั้งหมดยกกำลังสี่มีค่าเท่ากับ 16
       -24  ฐานคือ 2 เลขชี้กำลังคือ 4 อ่านว่าลบของสองกำลังสี่มีค่าเท่ากับ  -16